São raros os livros que têm sido tão editados, traduzidos e comentados como os Elementos de Euclides. Na antiga Grécia, esta obra foi comentada por Proclo (410 - 485), Herão (c. 10 - 75) e Simplício (490 - 560); na Idade-Média foi traduzida em latim e árabe; após a descoberta da imprensa, fizeram-se dela numerosas edições em todas as línguas europeias. A primeira destas edições foi a de Campano (1220 - 1296), em latim, publicada em 1482, edição usada por Pedro Nunes (1502 - 1578), que a citou numerosas vezes nas suas obras.

Em Portugal, publicou Angelo Brunelli em 1768 uma tradução em português dos seis primeiros livros, do undécimo e do duodécimo. Para esta tradução serviu-se da versão latina de Frederico Comandino e fê-la seguir de algumas notas com que Roberto Sinson (1687 - 1768) tinha ilustrado esta versão. Este livro, foi outrora muito usado nas escolas portuguesas razão pela qual se fizeram novas edições da tradução de Brunelli em 1790, 1792, 1824, 1835, 1839, 1852, 1855 e 1862.

Os Elementos de Euclides têm uma importância excepcional na história das matemáticas. Com efeito, não apresentam a geometria como um mero agrupamento de dados desconexos, mas antes como um sistema lógico. As definições, os axiomas ou postulados (conceitos e proposições admitidos sem demonstração que constituem os fundamentos especificamente geométricos e fixam a existência dos entes fundamentais: ponto, recta e plano) e os teoremas não aparecem agrupados ao acaso, mas antes expostos numa ordem perfeita. Cada teorema resulta das definições, dos axiomas e dos teoremas anteriores, de acordo com uma demonstração rigorosa.

Euclides foi o primeiro a utilizar este método, chamado axiomático. Desta maneira, os seus Elementos constituem o primeiro e mais nobre exemplo de um sistema lógico, ideal que muitas outras ciências imitaram e continuam a imitar. No entanto, não nos podemos esquecer de que Euclides se esforçou por axiomatizar a geometria com os meios de que dispunha na época. É pois, fácil compreender que o sistema que escolheu apresente algumas deficiências. Involuntariamente, em algumas das suas demonstrações admitiu resultados, muitas vezes intuitivos, sem demonstração.

Os treze livros

* Os livros I-IV tratam de geometria plana elementar. Partindo das mais elementares propriedades de rectas e ângulos conduzem à congruência de triângulos, à igualdade de áreas, ao teorema de Pitágoras (livro I, proposição 47) e ao seu recíproco (livro I, proposição 48), à construção de um quadrado de área igual à de um rectângulo dado, à secção de ouro, ao círculo e aos polígonos regulares. O teorema de Pitágoras e a secção de ouro são introduzidos como propriedades de áreas.

Como a maioria dos treze livros, o livro I começa com uma lista de Definições (23, ao todo) sem qualquer comentário como, por exemplo, as de ponto, recta, círculo, triângulo, ângulo, paralelismo e perpendicularidade de rectas tais como:

"um ponto é o que não tem parte",

"uma recta é um comprimento sem largura"

"uma superfície é o que tem apenas comprimento e largura".

A seguir às definições, aparecem os Postulados e as Noções Comuns ou Axiomas, por esta ordem. Os Postulados são proposições geométricas específicas. "Postular" significa "pedir para aceitar". Assim, Euclides pede ao leitor para aceitar as cinco proposições geométricas que formula nos Postulados:

1. Dados dois pontos, há um segmento de recta que os une;
2. Um segmento de recta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma recta;
3. Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer pode-se construir um círculo de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada;
4. Todos os ângulos rectos são iguais;
5. Se uma linha recta cortar duas outras rectas de modo que a soma dos dois ângulos internos de um mesmo lado seja menor do que dois rectos, então essas duas rectas, quando suficientemente prolongadas, cruzam-se do mesmo lado em que estão esses dois ângulos
(É este o célebre 5º Postulado de Euclides)

Assim, três conceitos fundamentais - o de ponto, o de recta e o de círculo - e cinco postulados a eles referentes, servem de base para toda a geometria euclidiana.

* O livro V apresenta a teoria das proporções de Eudoxo (408 a. C. - 355 a. C.) na sua forma puramente geométrica e

* O livro VI aplica-a à semelhança de figuras planas. Aqui voltamos ao teorema de Pitágoras e à secção de ouro (livro VI, proposições 31 e 30), mas agora como teoremas respeitantes a razões de grandezas. É de particular interesse o teorema (livro VI, proposição 27) que contém o primeiro problema de máxima que chegou até nós, com a prova de que o quadrado é, de todos os rectângulos de um dado perímetro, o que tem área máxima.

* Os livros VII-IX são dedicados à teoria dos números tais como a divisibilidade de inteiros, a adição de séries geométricas, algumas propriedades dos números primos e a prova da irracionalidade do número . Aí encontramos tanto o «algoritmo de Euclides», para achar o máximo divisor comum entre dois números, como o «teorema de Euclides», segundo o qual existe uma infinidade de números primos (livro IX, proposição 20).

* O livro X, o mais extenso de todos e muitas vezes considerado o mais difícil, contém a classificação geométrica de irracionais quadráticos e as suas raízes quadráticas.

* Os livros XI-XIII ocupam-se com a geometria sólida e conduzem, pela via dos ângulos sólidos, aos volumes dos paralelepípedos, do prisma e da pirâmide, à esfera e àquilo que parece ter sido considerado o clímax - a discussão dos cinco poliedros regulares («platónicos») e a prova de que existem somente estes cinco poliedros regulares.



Considerações finais

Ao escrever os Elementos, Euclides pretendia reunir num texto três grandes descobertas do seu passado recente: a teoria das proporções de Eudoxo, a teoria dos irracionais de Teeteto (417 a. C. - 369 a. C.) e a teoria dos cinco sólidos regulares, que ocupava um lugar importante na cosmologia de Platão.

Euclides compilou nos Elementos toda a geometria conhecida na sua época. Mas, não se limitou a reunir todo o conhecimento geométrico, ordenou-o e estruturou-o como ciência. Isto é, a partir de uns axiomas desenvolveu e demonstrou os teoremas e proposições geométricas, dando novas demonstrações quando as antigas não se adaptavam à nova ordem que havia dado às proposições. Além disso, esmiuçou a fundo as propriedades das figuras geométricas, das áreas e dos volumes e estabeleceu o conceito de lugar geométrico.

Embora os Elementos tenham algumas deficiências lógicas, pelos padrões actuais, tais deficiências passaram despercebidas durante mais de dois milénios. O movimento crítico iniciou-se talvez nos finais do século XVII, com John Wallis (1616-1703), continuando um pouco difuso durante o século seguinte, com o abade jesuíta Saccheri (1667-1733) e os matemáticos Lambert (1728-1777) e Gauss (1777-1855). É já bem dentro do século XIX que a crítica a Euclides se assume até às últimas consequências, culminando quer na proposta de geometrias alternativas por Bolyai (1802 - 1860), Lobachewski (1792 - 1856) e Riemann (1826 - 1866), quer numa completa revisão dos fundamentos da geometria euclidiana por Pasch (1843 - 1930) e por Hilbert (1862 - 1943), quer ainda no surgimento de novas concepções sobre a classificação das geometrias por Félix Klein (1849 - 1925).

Nada disto retira valor à monumental obra de Euclides. Como dizem Borsuk (1905 - 1982) e Szmielew (Foundations of geometry, 1960):

"Se o valor de um trabalho científico pode ser medido pelo tempo durante o qual ele mantém a sua importância, então os Elementos de Euclides são a obra científica mais válida de todos os tempos."

fonte: "http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/"

A defesa etrusca havia sido inteiramente enfraquecida pelas invasões dos gauleses na Itália do norte e central. Por volta de 390 uma horda de gauleses avançou para o sul em direção ao Lácio e derrotou esmagadoramente o exército romano às margens do Ália, um afluente do Tibre. O grosso da população fugiu de Roma. Os anciãos de nascimento nobre permaneciam sentados em seus salões, e foram massacrados pelos gauleses, que a princípio se mostraram atônitos com sua dignidade silenciosa. Os gauleses destruíram a cidade, à exceção do Capitólio, bravamente defendido por um pequeno contingente comandado por M. Mânlio Capitolino.

Finalmente os gauleses foram persuadidos a retornar a seu próprio território mediante o pagamento de uma quantia em ouro. Grande parte dos registros romanos antigos desapareceu na destruição da cidade, embora a extensão da perda tenha sido questionada. Após recuperar-se da incursão dos gauleses Roma entrou num período árduo e longo de expansão.

O Lácio foi afinal dominado, e começou a grande luta com os samnitas, os belicosos montanheses dos Abruzos. No curso da segunda Guerra Samnita os romanos sofreram o célebre desastre das Forças Caudinas (em 321), quando os cônsules, iludidos por uma informação falsa, tentaram marchar pelo estreito desfiladeiro de Cáudio, onde foram cercados e obrigados a render-se. O repúdio subseqüente pelo Senado das condições da capitulação provocou rancor redobrado entre os adversários.

Os samnitas foram finalmente vencidos na terceira Guerra Samnita, nos primeiros anos do século III. A luta contra eles durara setenta anos e se caracterizava pela ferocidade. Essa luta devastou o sul da Itália, que nunca mais se recuperou. Os próprios samnitas, embora subjugados, jamais se reconciliaram com os romanos; rebelaram-se para apoiar Aníbal, revoltaram-se na Guerra Social e ajudaram Mário em sua marcha sobre Roma.

Pouco tempo depois, do término das Guerras Samnitas manifestou-se uma desavença entre Roma e Taras, a mais rica e mais poderosa das cidades gregas do sul da Itália. Taras convidou Pirros, rei do Épeiros, para ajudá-la. Pirros desembarcou na Itália com suas forças e seus elefantes no ano de 280 a.C., como paladino do helenismo, valendo-se da experiência militar obtida sob o comando de Alexandre o Grande.

Os invasores conseguiram duas vitórias difíceis e inconclusivas sobre os romanos e perceberam que não eram suficientemente fortes para esmagá-los. Diante disso Pirros decidiu atender a um apelo dos sicilianos para ajudá-los contra os cartagineses, e tentou concluir um tratado de paz com os romanos. Em Roma, entretanto, prevaleceu o ponto de vista da facção favorável à continuação da guerra, chefiada pelo idoso Ápio Cláudio Cego, e as hostilidades prosseguiram. A dupla tarefa de Pirros era pesada demais para suas forças. Ele foi derrotado por M. Cúrio Dentato em Benevento, desistiu de suas aventuras na Itália e na Sicília e deixou o solo italiano (em 275) para pôr em prática um novo plano com o objetivo de dominar a Grécia.

Nos cinco anos seguintes Roma capturou Taras e completou a sujeição do sul da Itália. Mediante guerras bem sucedidas (entre 270 e 266) contra os úmbrios, os picentes e os salentinos, os romanos obtiveram a supremacia em toda a península desde o Arno e o Rubicão até o seu extremo sul. Convém descrever sumariamente as relações políticas de Roma com os povos por ela vencidos durante esse período de expansão. Por volta de 493 a.C. Roma concluiu um tratado de defesa comum com a Confederação Latina (a liga de cidades latinas derrotadas pelos romanos junto ao lago Regilo).

No século seguinte, entretanto, depois de haver passado da defesa à agressão, Roma impôs aos latinos um novo tratado aproximadamente no ano de 360, que na realidade os convertia de aliados em dependentes, e assumiu o controle militar da Confederação. Os latinos revoltaram-se em 340, mas em 338 todos eles estavam subjugados.

Algumas de suas cidades foram incorporadas ao Estado romano, enquanto outras se viram compelidas a estabelecer convenções em Roma, pelas quais se obrigavam a fornecer tropas quando pedidas, e ficavam sujeitas a certas restrições em matéria de comércio e casamento com romanos. Roma adotou a política de assegurar o domínio de pontos estratégicos por meio de colônias, seja de cidadãos romanos (coloniae romanae), seja de cidadãos romanos e latinos em conjunto (coloniae latinae).

Á proporção que ampliava suas conquistas Roma passou a tratar o caso de cada cidade como lhe parecia mais conveniente. As comunidades mais próximas, de um modo geral, iam sendo incorporadas ao Estado romano, com variações nos direitos concedidos; assim, algumas receberam direitos plenos, outras tiveram condições de civitas sine suffragio (sem o direito de voto). As comunidades mais distantes, conhecidas como socii ou aliadas, ficaram ligadas a Roma por tratados onde se definiam seus direitos e obrigações. Todas tinham de prestar ajuda militar a Roma e estavam sujeitas a restrições em suas relações políticas e comerciais com terceiros. Á exceção dessas limitações Roma as deixava substancialmente livres, e elas podiam aspirar a uma possível ascensão a um nível mais alto na união romana.

Quando por volta de 270 a.C. Roma completou a sujeição de toda a península italiana ao sul do Rubicão, seus domínios consistiam nos seguintes territórios:

(1) o Ager Romanus ou o Estado romano propriamente dito, incluindo (a) colônias romanas e (b) Municipia, cidades sujeitas às leis e ao serviço militar romano, e ao pagamento de tributos a Roma, e que evoluíram gradualmente para o governo próprio;

(2) o Nomen Latinum (comunidades latinas não incorporadas ao Estado romano) e colônias latinas; os domínios tinham tratados de aliança com Roma, porém gozavam de privilégios especiais que os distinguiam de

(3) Socii, as cidades aliadas italianas.

Roma conservou até o fim dessa época sua austeridade e simplicidade primitivas, e ainda era um Estado essencialmente agrícola. A retidão e a boa fé (apesar de lapsos ocasionais, como o repúdio do acordo feito nas Forças Caudinas) predominavam nas relações dos romanos com outros povos e inspiravam respeito. Como exemplos da antiga virtude romana podem-se mencionar as histórias dos embaixadores romanos, em seu retorno de Alexandria no ano de 273 a.C., entregando ao Tesouro romano os presentes recebidos de Ptolemaios Filadelfos; de G. Fabrício, que comunicou a Pirros o oferecimento de seu médico para envenená-lo; e de L. Papírio, que reservou para si mesmo somente uma taça de madeira dos ricos despojos de Taras. Foi no fim desse período que Roma sentiu pela primeira vez a influência da cultura helênica, embora sem dúvida tivesse havido intercâmbio comercial antes disso com os gregos, e os romanos houvessem adotado o alfabeto grego em tempos muito recuados, O introdutor do drama e da epopéia gregas em Roma foi um escravo grego, Livio Andrônico, aprisionado por ocasião da captura de Taras. Pode-se também notar a influência grega no desenvolvimento da religião romana.